历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明
作者：　　时间：2011-12-05

历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明

极限“limx→0(sinx)/(x)=1”在微积分中被人们称为重要极限，历史上是谁给出了这个极限的证明是一个令人感兴趣的问题。

极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的历史和正弦函数sinx的导数有关。1737年英国数学家托马斯.辛普森在他的《流数论》中给出了正弦的求导公式：“任意圆弧和它的正弦值的流数之比等于半径和余弦值之比。”而这一结论的证明是由英国数学家罗杰.柯泰斯(1682-1716)利用微分三角形给出的，罗杰.柯泰斯的这个证明实际已经孕育极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的一些基本思想。

此后，数学家相继给出了这个公式的一些证明，如欧拉在1755年出版的《微分学原理》中证明了微分公式

d(sinx)=cosx。

第一个明确给出这个极限解析证明的是法国数学家拉格朗日，他在《解析函数论》的第23节，给出了这个极限。他指出：“当x是一个无穷小的弧，则有sinx=x”，并且给出证明。

拉格朗日对这个结论的证明，是从单位圆中给出的两个明显的不等式

Sinx<x和tanx>x

出发，并且注意三角公式

tanx=sinx/cosx=six/(1-sin2x)1/2

则得到了新的不等式six/(1-sin2x)1/2>x和sinx>x/(1+x2) 1/2

当x是很小的正弧时，对一个一般正弦函数sinAx 使用幂级数表达式，得到新的不等式

Ax-A³x³/2.3+ A⁵x⁵/2.3.4.5-……<x,> x/(1+x²) ^1/2

不等式两边除以x，得到：

A-A³x²/2.3+ A⁵x⁴/2.3.4.5-……<x,> 1/(1+x²) ^1/2,

利用不等式1/(1+x2) 1/2> 1/(1+x2)和1/(1+x2)> (1-x2)

得到了

A-A³x²/2.3+ A⁵x⁴/2.3.4.5-……<1, > (1-x²)

因此对于x来说，A³x²/2.3< 1，而且A-A³x²/2.3+……将收敛，小于A，但是大于A-A³x²/2.3.

如果我们假设x<6^1/2/A, 可以得到A>1-x²,和1+ A³x²/2.3

即A=1。

为了得到这个结论，拉格朗日使用了反证法，如果A=1+i ,其中i为很小的正数，则对于x而言，有A³x²/2.3<i，而我们有结论A<1+ A³x²/2.3，于是发生矛盾，则A=1+i不可以成立。同样可以证明A=1-i也不成立。于是A=1，则sinx=x。

这里拉格朗日的“sinx=x”，实际是x→0时，sinx→0,即（limx→0(sinx)/(x)=1）