费马大定理是怎么证明的？
作者：　　时间：2011-11-17

已故数学大师陈省身说道，20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚—辛格指标定理，另一个是费马大定理。当然，20世纪的重大数学成就远不止这两个，不过这两大成就却颇具代表性，特别是从科普的角度来看。

说实在的，数学虽然总是居于科学之首，可是一般人对数学可以说几乎一无所知，尤其是说到数学有什么成就、有什么突破的时候。理、化、天、地、生，门门都有很专门的概念、知识、技术，可不久之前的大成绩很容易就可以普及到寻常百姓家。激光器制造出来还不到50年，激光唱盘早已尽人皆知了，克隆出现不到10年，克隆这字眼已经满天飞了。即使人们不太懂黑洞的来龙去脉，一般人理解起来也不会有太大障碍。可是有多少人知道最新的数学成就呢？恐怕很难很难。数学隔行都难以沟通，更何况一般人呢。正因为如此，99%的数学很难普及，成百上千的基本概念就让人不知所云，一些当前的热门，如量子群、非交换几何、椭圆上同调，听起来就让人发晕。幸好，还有1%的数学还能对普通的人说清楚，费马大定理就是其中的一个。

费马大定理在世界上引起的兴趣就正如哥德巴赫猜想在中国引起的热潮差不多。之所以受到许多人的关注，关键在于它们不需要太多的准备知识。对于费马大定理，人们只要知道数学中头一个重要定理就行了。这个定理在中国叫勾股定理或商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理。它的内涵丰富，从数论的角度看就是求不定方程（即变元数多于方程数的方程）X2+Y2=Z2的正整数解。中国在很早已知（3，4，5）是这个方程的一个解，也就是32+42=52，其后也陆续得到其他解，最后知道它的所有解。这样，一个不定方程的问题得到圆满解决。

数学家的思想方向是推广，这个问题到了17世纪数学家费马的手中，就自然问，当指数变是3,4……时，又会怎样？这样费马的问题就变成不定方程Xn+Yn=Zn n=3，4，……是否有正整数解的问题。费马误以为自己证明了对于所有n≥3的情形,这个方程(不妨称为费马方程)都没有正整数解，实际上，他的方法只证明n＝4的情形。不过，这个他没有证明的定理还是被称为费马大定理。

这样一个叙述简单易懂的定理对于后来的数学家是一大挑战，其后200多年，数学家只是部分地解决了这个问题，可是却给数学带来丰富的副产品，最重要的是代数数论。原来的问题却成为一个难啃的硬骨头。20世纪初，有人悬赏10万德国马克，征求费马大定理的证明，成千上万的错误证明寄到评审机构那里，其中几乎没有什么真正的数学家。本书的第四章生动地描写了其中的故事。

有时我们把这些人称为业余数学爱好者，近来称之为民间科学家、草根科学家。可是他们真的爱好数学吗？他们真的肯为解决一个问题认真地学点什么东西吗？一句话，他们肯钻研吗？《费马大定理》这本书的确告诉我们，最终证明费马大定理的怀尔斯九年面壁之路是多么坎坷。从1986年到1994年他几乎没有发表任何论文，这对职业数学家常常是致命的。怀尔斯为了保密，也搞一点小名堂，局外人也许只数你论文的篇数，内容则完全看不懂。可是要说大定理证得对不对，专家无疑起着决定性的作用。这本书生动地讲述一位在数学中心生活的数学家的生存状态。他有一些朋友，他要靠这些朋友，当时他也有失误或挫折，幸运的是，他走到底。一般人只看到他获得的十来个大奖，最近的一个是2005年邵逸夫奖100万美元。实际上这不过是锦上添花，谁知道1993年发现证明漏洞时的辛酸呢？书中还真正讲到一位反证欧拉猜想的人举出的反例，可以想象这对他打击会有多大！幸好一切功德圆满，而且在这本书出版之后，不仅是半稳定椭圆曲线的谷山—志村猜想得到证明，而且整个的谷山—志村猜想在20世纪末也完全获得证明。数论真的来了一个大跃进，

怀尔斯之后，我们又见到一位俄罗斯大数学家佩雷尔曼的身影。他更像是一位不食人间烟火的人，1996年得了欧洲数学会大会奖不去领，今年得菲尔兹奖也不去领，将来要是得克莱研究院的大奖说不定也会放弃。他有一句话说得好，还是让我们做数学。这才是真正的数学家。

顺便说一句，获2006年菲尔茨奖的四位数学家中的另两位奥昆科夫和维尔纳也都得过欧洲数学会大会奖。唯一没能得的一位是华裔数学家陶哲轩，出生在澳大利亚，真是一个大天才，莫扎特式的人物，今年10月刚满31岁，已经写了上百篇的大论文。实际上进入21世纪后他已经年年获奖了。有意思的是，他也曾代表澳大利亚参加数学奥林匹克竞赛，3次铜牌，1次银牌，1次金牌，看来是年年夺冠军、个个得金牌的中国队的手下败将。奇怪的是，中国上百个金牌得主没出一个像样的数学家。这也正应了晏子那句俏皮话，橘子在淮南是橘子，在淮北就变成了枳子了。