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      历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明
      作者:  时间:2011-12-05


      历史上极限limx→0(sinx)/(x)=1的第一个证明

      极限“limx→0(sinx)/(x)=1”在微积分中被人们称为重要极限,历史上是谁给出了这个极限的证明是一个令人感兴趣的问题。

      极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的历史和正弦函数sinx的导数有关。1737年英国数学家托马斯.辛普森在他的《流数论》中给出了正弦的求导公式:“任意圆弧和它的正弦值的流数之比等于半径和余弦值之比。”而这一结论的证明是由英国数学家罗杰.柯泰斯(1682-1716)利用微分三角形给出的,罗杰.柯泰斯的这个证明实际已经孕育极限“limx→0(sinx)/(x)=1”的一些基本思想。

      此后,数学家相继给出了这个公式的一些证明,如欧拉在1755年出版的《微分学原理》中证明了微分公式

      d(sinx)=cosx。

      第一个明确给出这个极限解析证明的是法国数学家拉格朗日,他在《解析函数论》的第23节,给出了这个极限。他指出:“当x是一个无穷小的弧,则有sinx=x”,并且给出证明。

      拉格朗日对这个结论的证明,是从单位圆中给出的两个明显的不等式

      Sinx<x和tanx>x


      出发,并且注意三角公式

      tanx=sinx/cosx=six/(1-sin2x)1/2

      则得到了新的不等式six/(1-sin2x)1/2>x和sinx>x/(1+x2) 1/2

      当x是很小的正弧时,对一个一般正弦函数sinAx 使用幂级数表达式,得到新的不等式

      Ax-A3x3/2.3+ A5x5/2.3.4.5-……<x,> x/(1+x2) 1/2


      不等式两边除以x,得到:

      A-A3x2/2.3+ A5x4/2.3.4.5-……<x,> 1/(1+x2) 1/2,


      利用不等式1/(1+x2) 1/2> 1/(1+x2)和1/(1+x2)> (1-x2)

      得到了

      A-A3x2/2.3+ A5x4/2.3.4.5-……<1, > (1-x2)


      因此对于x来说,A3x2/2.3< 1,而且A-A3x2/2.3+……将收敛,小于A,但是大于A-A3x2/2.3.


      如果我们假设x<61/2/A, 可以得到A>1-x2,和1+ A3x2/2.3


      即A=1。

      为了得到这个结论,拉格朗日使用了反证法,如果A=1+i ,其中i为很小的正数,则对于x而言,有A3x2/2.3<i,而我们有结论A<1+ A3x2/2.3,于是发生矛盾,则A=1+i不可以成立。同样可以证明A=1-i也不成立。于是A=1,则sinx=x。


      这里拉格朗日的“sinx=x”,实际是x→0时,sinx→0,即(limx→0(sinx)/(x)=1)

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